domingo, 30 de octubre de 2011

INTEGRANTES:
Mariuxi Cervantes
Diego Flores
Gabriel Velastegui
Pablo Silva
Paul Chavez
Israel Verduga

viernes, 14 de octubre de 2011

PERPENDICULARIDAD



Saber si dos rectas son perpendiculares es muy fácil: 


Sólo tenemos que calcular sus pendientes, m y m', y multiplicarlas, si el resultado es -1, las rectas son perpendiculares.




Ángulo de dos rectas que se cortan


La forma más fácil es calcular los ángulos que forman cada una de las rectas con el eje x (esto es muy fácil: sólo tenemos que ver la pendiente de la recta y recordar que la pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x) y restarlos.

EJERCICIOS DE LA RECTA



EJEMPLO 1 - Hallar la ecuación de la recta que 
tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.
Tienes que hallar la ecuación de la recta,
esto es, y = mx + b.
Usa la información que te dan:
m = 3 y b = 10 y sustituye en la ecuación
y = 3x + 10.
La ecuación que te pide el ejercicio es
y = 3x + 10.

EJEMPLO 2 - Hallar la ecuación de la recta 
que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente 
m = - 5.
Tienes que hallar la ecuación de la recta,
esto es, y = mx + b.
Usa la información que te dan: 
m = - 5 y sustituye en la ecuación:
y = - 5x + b
Ahora tienes que buscar la b; usa el otro dato; 
la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto,
ese punto es una solución de la ecuación que
estas buscando. Sustituye esos valores de 
x = 1, y = 2 en la ecuación que estas buscando:
2 = - 5 ( 1 ) + b
Despeja la variable b en: 2 = - 5 ( 1 ) + b
2 = - 5 + b
2 + 5 = b
b = 7
Sustituye el valor de b en la ecuación qu
e estas buscando: y = - 5x + 7
La ecuación es y = - 5x + 7.
Debes conocer los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente
Las rectas perpendiculares tienen pendientes 
recíprocas y opuestas .
Ejemplo:
Si una recta tiene pendiente m = - 3 y es
paralela a otra, entonces esa otra también 
tiene pendiente m = - 3.
Si una recta tiene pendiente m = - 5 
y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente .

Sí en una ecuación de esta forma:
ax + by + c = 0, damos valores 
a x e y que cumplan la ecuación, y 
representamos estos puntos en una
gráfica, veremos que la gráfica es una recta.


Si despejamos la 'y', la ecuación se convierte en:

y = mx + n, m 

Representa la pendiente de la recta (la 
pendiente es el cociente entre lo que sube o 
baja entre dos puntos de la recta y la distancia 
horizontal entre ellos, dicho matemáticamente 
es la tangente del ángulo que forma la recta
con otra recta horizontal) y n es el punto del eje
y por donde pasa la recta.
Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje
x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si
n = 0 la recta pasa por el origen.
Es muy frecuente encontrar fórmulas para hallar 
la ecuación de la recta que pasa por un punto 
y tiene una pendiente dada, o para hallar la
ecuación de la recta que pasa por dos puntos. 
Tengo una buena noticia para los que tienen mala
memoria: NO SON NECESARIAS.


Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene
una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1,3),
sólo tenemos que sustituir estos valores 
en la ecuación general y nos quedaría: 

3 = 2·1 + n

Y despejando n, queda n = 1. Por lo tanto 
la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1.
Como se ve es muy fácil. A algunos profesores 
también les parece muy fácil y para hacerlo más 
difícil en vez de decir la pendiente dicen el
ángulo que forma la recta con el eje x o con la 
horizontal. Es igual de fácil, la pendiente es
la tangente de ese ángulo. Otros profesores (que
pretenden que nos equivoquemos, ya saben que hay
profesores de todo tipo) dicen el ángulo que 
forma la recta con el eje 'y' o con la vertical,
en este caso el ángulo que tenemos que 
utilizar es el complementario (90 - ángulo).
Si nos dicen que la recta pasa por el punto 
(1,3) y (2,5), sólo tenemos que sustituir estos 
valores en la ecuación general y obtendremos 
dos ecuaciones con dos incógnitas: 3 = m·1 + n, 
5 = m·2 + n.



Aqui un enlace con todo tipo de ejercicios de la recta:




DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Seguramente tendrás una fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta. No la necesitas si sabes pensar:
La distancia de un punto a una recta es la medida sobre una recta perpendicular a la anterior y que pase por el punto (lógicamente).

Como nos darán la ecuación de la recta, sabremos la pendiente de la recta (sea m esta pendiente), entonces la pendiente de las rectas perpendiculares a esta tendrán pendiente

 -1/m. 


Como además esa recta tiene que pasar por el punto que nos dicen, nos será muy fácil calcular la ecuación de esa recta.

Ya tenemos entonces las ecuaciones de las dos rectas. Si resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas, obtendremos el punto en el que se cortan las rectas. Ya sea por sistema 3x3, por Gauss Jordan o por eliminacion, como nos indicaran los videos a continuacion:






Ya tenemos entonces las coordenadas de dos puntos (uno el punto original y otro sobre la recta, este punto es el mas cercano al primero), y entonces si hacemos un dibujo de los dos puntos y ponemos las coordenadas de los puntos sabremos calcular la distancia.
Nombres de las distintas formas de expresar la ecuación de una recta.
Supongamos que tenemos la ecuación de una recta y haciendo las modificaciones oportunas, la ponemos en esta forma:

 y = mx + n


Esta forma se llama forma explícita. En este caso m es la pendiente de la recta.




Si la ponemos en esta forma:

 y - y0 = m(x - x0)


Decimos que está en forma punto-pendiente. En este caso m es la pendiente de la recta y x0, y0 las coordenadas de un punto cualquiera de la recta.


Si la ponemos en esta forma:
 x/a + y/b = 1 

Decimos que está en la forma canónica o sementaría. En este caso, a es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje X y b es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje Y.

FORMULAS DE LA RECTA




En una recta, la pendiente m\, es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:
 m = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right)
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):
y - y_1 = m (x - x_1)\!

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X.
La ecuación de la recta que pasa por el punto

 P_1 = (x_1, y_1) \, y tiene la pendiente dada m es:
y - y_1 = m (x - x_1)\,
Ejemplo
La ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, − 4) y que tiene una pendiente de − 1 / 3.
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:
y - y_1 = m (x - x_1)\!
y - ( - 4) = - 1/3 (x - 2)\!
3 (y + 4) = - 1(x - 2)\!
3y + 12 = - x + 2\!
x + 3y + 12 = 2\!
x + 3y + 10 = 0\!


Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y − y1 = m(x − x1):
y - b = m (x - 0)\!
y - b = m x \!
y = m x + b \!
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

CARACTERISTICAS DE LA RECTA